函数f（x）=ex（-x2+2x+a）在区间[a，a+1]上单调递增，则实数a的最大值为．

Question

函数f（x）=e^x（-x²+2x+a）在区间[a，a+1]上单调递增，则实数a的最大值为___．

Answer 1

f（x）=e^x（-x²+2x+a），
f′（x）=e^x（-x²+a+2），
若f（x）在[a，a+1]上单调递增，
则-x²+a+2≥0在[a，a+1]恒成立，
即a+2≥x²在[a，a+1]恒成立，
①a+1<0即a<-1时，y=x²在[a，a+1]递减，
y=x²的最大值是y=a²，
故a+2≥a²，解得：a²-a-2≤0，解得：-1②-1≤a≤0时，y=x²在[a，0）递减，在（0，a+1]递增，
故y=x²的最大值是a²或（a+1）²，
③a>0时，y=x²在[a，a+1]递增，y的最大值是（a+1）²，
故a+2≥（a+1）²，解得：0(-1+√(5))/(2)，
则实数a的最大值为：(-1+√(5))/(2)，
综上，a的最大值是(-1+√(5))/(2)，
故答案为：(-1+√(5))/(2)．