二次求导的含义和用法是什么?

Question

二次求导的含义和用法是什么?

Answer 1

函数在某点的一阶导数表示函数图象在该点的切线的斜率,表达了函数值在该点附近的变化快慢,相应地,对函数二次求导,相当于对原来函数的一阶导函数再进行一次求导,所得二阶导数即表示切线的斜率的变化快慢,可对比位移一次求导即速度,位移二次求导即加速度来理解.
我们都知道用导函数判断原函数的单调性,如果导函数大于零,则原函数为增,导函数小于零,则原函数为减.在求出导函数后,如果再继续对导函数求导,即求出,则可以用去判断的增减性,如下图：　　下面我们结合高考题来看看二次求导在解高考数学函数压轴题中的应用【理·2010全国卷一第20题】已知函数.（Ⅰ）若,求的取值范围；（Ⅱ）证明：　　　先看第一问,首先由可知函数的定义域为,易得　　　则由可知,化简得　　　,这时要观察一下这个不等式,显然每一项都有因子,而又大于零,所以两边同乘可得,所以有,在对求导有　　　,即当＜＜时,＞0,在区间上为增函数；当时,；当＜时,＜0,在区间上为减函数.　　　所以在时有最大值,即.又因为,所以.　　　应该说第一问难度不算大,大多数同学一般都能做出来.再看第二问.　　　要证,只须证当＜时,；当＜时,＞即可.　　　由上知,但用去分析的单调性受阻.我们可以尝试再对求导,可得,显然当＜时,；当＜时,＞,即在区间上为减函数,所以有当＜时,,我们通过二次求导分析的单调性,得出当＜时,则在区间上为增函数,即,此时,则有成立.　　　下面我们在接着分析当＜时的情况,同理,当＜时,＞,即在区间上为增函数,则,此时,为增函数,所以,易得也成立.　　　综上,得证.　　　下面提供一个其他解法供参考比较.（Ⅰ）,则　　　题设等价于.　　　令,则.　　　当＜＜时,＞；当时,是的最大值点,所以 .　　　综上,的取值范围是.　　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知,即.　　　当＜＜时,　　　因为＜0,所以此时.　　　当时,.　　　所以　　　比较上述两种解法,可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂,思路来得自然流畅,难度降低,否则,另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论,而且运用了一些代数变形的技巧,解法显得偏而怪,同学们不易想出.　　　不妨告诉同学们一个秘密：熟炼掌握二次求导分析是解决高考数学函数压轴题的一个秘密武器!下面我们再看一道高考压轴题.　　　【理·2010全国卷三第21题】设函数.　　　（Ⅰ）若,求的单调区间；　　　（Ⅱ）若当时,.求的取值范围.　　　第一问没有任何难度,通过求导数来分析的单调即可.　　　当,令,得；当＜时,＜；当＞时,＞.所以在区间上为减函数,在区间上为增函数.　　　第二问,其实第一问算是个提示,即当时,在区间上为增函数,故,显然满足题意.　　　下面我们分别分析＜和＞两种情况.　　　当＜时,在区间上显然,综上可得在区间上成立.故＜满足题意.　　　当＞时,显然,当在区间上大于零时,为增函数,满足题意.而当在区间上为增函数时,也就是说,要求在区间上大于等于零,又因为在区间上为增函数,所以要求,即,解得.　　　综上所述,的取值范围为.　　　通过上面两道压轴题,我们已经领略了二次求导在分析高考数学函数压轴题的威力.　　　再看看某些省市的函数题.【理·2010安徽卷第17题】设为实数,函数.（Ⅰ）求的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当＞且＞时,＞.第一问很常规,我们直接看第二问.首先要构造一个新函数,如果这一着就想不到,那没辙了.然后求导,结果见下表.,继续对求导得 减\x05极小值\x05增由上表可知,而,由＞知　＞,所以＞,即在区间上为增函数.　于是有＞,而,　故＞,即当＞且＞时,＞.高中数学题一般最后都会给个求导,并且大部分都是二次的.很多时候,一道题,你看到就知道要求导,当你一次求导后发现得出的结果还存在未知的东西,极值什么的没有清晰得表现出来,就可以考虑二次求导.当然,还有三次求导的,这个时候要非常细心,观察全局,不然做到后边很容易出错.