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在锐角三角形ABC中,BC=5,sinA=45,(1)如图1,求三角形ABC外接圆的直径;(2)如图2,点I为三角形ABC的内心,BA=BC,求AI的长.
题目详情
在锐角三角形ABC中,BC=5,sinA=
,

(1)如图1,求三角形ABC外接圆的直径;
(2)如图2,点I为三角形ABC的内心,BA=BC,求AI的长.
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(1)如图1,求三角形ABC外接圆的直径;
(2)如图2,点I为三角形ABC的内心,BA=BC,求AI的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)作DB垂直于BC,连DC,
∵∠DBC=90°,∴DC为直径.
∵∠A=∠D,BC=5,sinA=
,
∴sinD=
=
,
∴CD=
,
答:三角形ABC外接圆的直径是
.

(2)连接IC、BI,且延长BI交AC于F,过点I作IG⊥BC于点G,过I作IE⊥AB于E,
∵AB=BC=5,I为△ABC内心,
∴BF⊥AC,AF=CF,
∵sinA=
=
,
∴BF=4,
在Rt△ABF中,由勾股定理得:AF=3,
∵BA=BC,I是内心,
即BF是∠ABC的角平分线,
∴AC=2AF=6,
∵I是△ABC内心,IE⊥AB,IF⊥AC,IG⊥BC,
∴IE=IF=IG,
设IE=IF=IG=R,
∵△ABI、△ACI、△BCI的面积之和等于△ABC的面积,
∴
AB×R+
BC×R+
AC×R=
AC×BF,
即5×R+5×R+6×R=6×4,
∴R=
,
在△AIF中,AF=3,IF=
,由勾股定理得:AI=
.
答:AI的长是
.
∵∠DBC=90°,∴DC为直径.
∵∠A=∠D,BC=5,sinA=
4 |
5 |
∴sinD=
BC |
CD |
4 |
5 |
∴CD=
25 |
4 |
答:三角形ABC外接圆的直径是
25 |
4 |

(2)连接IC、BI,且延长BI交AC于F,过点I作IG⊥BC于点G,过I作IE⊥AB于E,
∵AB=BC=5,I为△ABC内心,
∴BF⊥AC,AF=CF,
∵sinA=
4 |
5 |
BF |
AB |
∴BF=4,
在Rt△ABF中,由勾股定理得:AF=3,
∵BA=BC,I是内心,
即BF是∠ABC的角平分线,
∴AC=2AF=6,
∵I是△ABC内心,IE⊥AB,IF⊥AC,IG⊥BC,
∴IE=IF=IG,
设IE=IF=IG=R,
∵△ABI、△ACI、△BCI的面积之和等于△ABC的面积,
∴
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即5×R+5×R+6×R=6×4,
∴R=
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在△AIF中,AF=3,IF=
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答:AI的长是
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