在三角形abc中,BM和CN是中线,D是BC边上任一点作DE∥BM,DF∥CN,分别和AC,AB交于E,F两点,线段EF和中线BM,CN分别相交于P,Q两点,求证：EP=PQ=QE.

Question

在三角形abc中,BM和CN是中线,D是BC边上任一点作DE∥BM,DF∥CN,分别和AC,AB交于E,F两点,线段EF和中线BM,CN分别相交于P,Q两点,求证：EP=PQ=QE.

Answer 1

应该是求证：FP＝PQ＝QE.
［证明］
令BD＝x、DC＝y.
∵DF∥CN,∴BF/FN＝BD/DC＝x/y,∴可设BF＝mx、FN＝my.
∵BA＝2BN,∴BA＝2（BF＋FN）＝2m（x＋y）,∴BA/BF＝2（x＋y）/x.
∵DE∥BM,∴CE/ME＝DC/BD＝y/x,∴可设ME＝nx、CE＝ny.
∵MA＝CM,∴MA＝CE＋EM＝n（x＋y）,∴ME/MA＝x/（x＋y）.
对△AFE来说,由梅内劳斯定理,有：（ME/MA）（BA/BF）（FP/PE）＝1,
∴［x/（x＋y）］［2（x＋y）/x］（FP/PE）＝1,∴FP/PE＝1/2,∴FP/（FP＋PE）＝1/3,
∴FP＝（1/3）FE.
显然有：CA＝2MA＝2n（x＋y）、NA＝BN＝BF＋FN＝m（x＋y）.
∴CE/CA＝y/［2（x＋y）］、NA/NF＝（x＋y）/y.
对△AFE来说,再由梅内劳斯定理,有：（CE/CA）（NA/NF）（QF/QE）＝1,
∴｛y/［2（x＋y）］｝［（x＋y）/y］（QF/QE）＝1,∴（1/2）（QF/QE）＝1,
∴QE/QF＝1/2,∴QE/（QE＋QF）＝1/3,∴QE＝（1/3）FE.
∵FP＝（1/3）FE、QE＝（1/3）FE,∴PQ＝FE－FP－QE＝（1/3）FE,
∴FP＝PQ＝QE.