若非负实数a,d和正实数b,c满足b+c>==a+d,求b/(c+d)+c/(a+b)的最小值

Question

若非负实数a,d和正实数b,c满足b+c>==a+d,求b/(c+d)+c/(a+b)的最小值

Answer 1

由已知可得b+c≥(a+b+c+d)/2,则b≥(c+d)/2和c≥(a+b)/2至少有一个成立.
不妨设c≥(a+b)/2,则2cd≥(a+b)d,进而有c(a+b+2d)≥(a+b)(c+d),所以
c/(a+b)≥(c+d)/(a+b+2d)≥(c+d)/(2b+c+d).
所以b/(c+d) + c/(a+b)≥b/(c+d) + (c+d)/(2b+c+d) = b/(c+d) + 1/(1+2b/(c+d))
记x=b/(c+d),
则b/(c+d) + c/(a+b)≥x + 1/(1+2x) = (1+2x)/2 + 1/(1+2x) -1/2 ≥2*√(1/2) -1/2=√2 -1/2.
当d=0,b/c=x=(√2 -1)/2,a=b+c时,b/(c+d) + c/(a+b)的最小值为√2 -1/2.