△ABC中，己知∠A＞∠B＞∠C，且∠A=2∠C，b=4，a+c=8，求a，c的长．

Question

△ABC中，己知∠A＞∠B＞∠C，且∠A=2∠C，b=4，a+c=8，求a，c的长．

Answer 1

根据正弦定理(a)/(sinA)=(b)/(sinB)=(c)/(sinC)，得(b)/(sinB)=(a+c)/(sinA+sinC)
∵b=4，a+c=8，∠A=2∠C，
∴(4)/(sin(π−3C))=(8)/(sin2C+sinC)，可得sin2C+sinC=2sin（π-3C）=2sin3C
∵sin2C=2sinCcosC，sin3C=sin（2C+C）=sin2CcosC+cos2CsinC=2sinCcos²C+sinC（2cos²C-1）
∴2sinCcosC+sinC=2[2sinCcos²C+sinC（2cos²C-1）]
结合sinC＞0，化简整理得：8cos²C-2cosC-3=0，
解之得cosC=(3)/(4)或cosC=-(1)/(2)
∵∠A＞∠B＞∠C，得C为锐角，
∴cosC=-(1)/(2)不符合题意，舍去
根据余弦定理，得cosC=(a2+b2−c2)/(2ab)=(3)/(4)，
∴(a2+42−(8−a)2)/(2×a×4)=(3)/(4)，解之得a=(24)/(5)，c=8-a=(16)/(5)
综上，a、c的长分别为(24)/(5)、(16)/(5)．