已知1/a,1/b,1/c成等差数列,则(b+c)/a,(a+c)/b,(a+b)/c是否也成等差数列?并说明你的理由.

Question

已知1/a,1/b,1/c成等差数列,
则(b+c)/a,(a+c)/b,(a+b)/c是否也成等差数列?并说明你的理由.

Answer 1

是
因为1/a,1/b,1/c是等差数列,所以2/b=1/a+1/c=(a+c)/ac
故a+c=2ac/b,ab+bc=2ac
(b+c)/a+(a+b)/c-2(a+c)/b
=(bc+c^2+a^2+ab)/ac-4ac/b^2
=(b^3c+b^2c^2+a^2b^2+ab^3-4a^c^2)/acb^2
=(b^3c+b^2c^2+a^2b^2+ab^3-a^2b^2-b^2c^2-2ab^2c)/acb^2
=(b^3c+ab^3-2ab^2c)/acb^2
=(bc+ab-2ac)/ac
=0
所以(b+c)/a,(a+c)/b,(a+b)/c是成等差数列