已知C是椭圆X²/a²+Y²/b²=1（a＞b＞0）的半焦距,则b+c/a的取值范围是?

Question

已知C是椭圆X²/a²+Y²/b²=1（a＞b＞0）的半焦距,则b+c/a的取值范围是?

Answer 1

可设k=(b+c)/a.
由a²=b²+c²可得:
k²=(b+c)²/a²
=[(b²+c²)+2bc]/(b²+c²)
=1+[2bc/(b²+c²)]
由基本不等式可知,
恒有b²+c²≥2bc
等号仅当b=c时取得.
∴恒有0＜2bc/(b²+c²)≤1
∴1＜k²≤2
∴1＜k≤√2
即1＜(b+c)/a≤√2