如图4，已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0）经过点A（2，0），B（6，0），交y轴于点C，且S△ABC=16．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的解析式及其对称轴；（3）若正方形DEFG内接于抛物线和x轴（边FG

Question

如图4，已知抛物线y=ax²+bx+c（a>0）经过点A（2，0），B（6，0），交y轴于点C，且S_△ABC=16．

（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的解析式及其对称轴；
（3）若正方形DEFG内接于抛物线和x轴（边FG在x轴上，点D，E分别在抛物线上），求S_{正方形DEFG}．

Answer 1

（1）∵A（2，0），B（6，0），
∴AB=6-2=4．
∵S_△ABC=16，
∴(1)/(2)×4•OC=16，
∴OC=8，
∴点C的坐标为（0，8）；

（2）∵抛物线y=ax²+bx+c（a>0）经过点A（2，0），B（6，0），
∴可设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-6），
将C（0，8）代入，得8=12a，
解得a=(2)/(3)，
∴y=(2)/(3)（x-2）（x-6）=(2)/(3)x²-(16)/(3)x+8，
故抛物线的解析式为y=(2)/(3)x²-(16)/(3)x+8，其对称轴为直线x=4；

（3）设正方形DEFG的边长为m，则m>0，
∵正方形DEFG内接于抛物线和x轴（边FG在x轴上，点D，E分别在抛物线上），
∴D（4-(1)/(2)m，-m），E（4+(1)/(2)m，-m）．
将E（4+(1)/(2)m，-m）代入y=(2)/(3)x²-(16)/(3)x+8，
得-m=(2)/(3)×（4+(1)/(2)m）²-(16)/(3)×（4+(1)/(2)m）+8，
整理得，m²+6m-16=0，
解得m₁=2，m₂=-8（不合题意舍去），
∴正方形DEFG的边长为2，
∴S_{正方形DEFG}=2²=4．