∫∫|1-x-y|dσ,其中D={(X,y)|0

Question

∫∫|1-x-y|dσ,其中D={(X,y)|0

Answer 1

作线段x+y=1,将区域D分为两部分（自己画图）
左下部分记为D1,右上部分记为D2
在D1中x+y≤1,在D2中x+y≥1
因此
∫∫|1-x-y|dσ
=∫∫(D1) |1-x-y|dσ + ∫∫(D2) |1-x-y|dσ
=∫∫(D1) (1-x-y)dσ + ∫∫(D2) (x+y-1)dσ
=∫[0→1] dx∫[0→1-x] (1-x-y)dy + ∫[0→1] dx∫[1-x→1] (x+y-1)dy
=∫[0→1] (y-xy-(1/2)y²) |[0→1-x] dx + ∫[0→1] (xy+(1/2)y²-y) |[1-x→1] dx
=∫[0→1] (1-x-x(1-x)-(1/2)(1-x)²) dx + ∫[0→1] (x²+1/2-(1/2)*(1-x)²-x) dx
=1/6+1/6
=1/3