一商店经销某种商品，每周进货的数量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且都服从区间[10，20]上的均匀分布．商店每售出一单位商品可以得利润1000元；若需求量超过了进

Question

一商店经销某种商品，每周进货的数量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且都服从区间[10，20]上的均匀分布．商店每售出一单位商品可以得利润1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为500元．试计算此商店每周所得利润的期望值．

Answer 1

设Z表示此商店每周所得利润，则：
Z＝

1000Y，      Y≤X

1000X+500(Y−X)＝500(X+Y)，  Y＞X

，
由于X与Y的联合密度为：
φ(x，y) ＝ 

(1)/(100)，    10≤x≤20，10≤y≤20

0，    其他

，
所以：
E（Z）=

∬

D1

1000y×(1)/(100)dxdy+

∬

D2

500(x+y)×(1)/(100)dxdy
=10

∫

20 10

dy

∫

20 y

ydx+5

∫

20 10

dy

∫

y 10

(x+y)dx
=10

∫

20 10

y(20−y)dy+5

∫

20 10

((3)/(2)y2−10y−50)dy
=(20000)/(3)+500
=14166.67（元）．