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设连续型随机变量X的概率密度函数是偶函数，且E（X2）＜∞，则X与|X|的相关系数为．
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设连续型随机变量X的概率密度函数是偶函数，且E（X2）＜∞，则X与|X|的相关系数为______．
▼优质解答
答案和解析
设随机变量X的概率密度函数为f（x），则
Cov（X，|X|）=E（X|X|）-E（X）•E（|X|）
=
x|x|f(x)dx-
xf(x)dx•
|x|f(x)dx
=
(-x2)f(x)dx+
x2f(x)dx-
xf(x)dx•[
(-x)f(x)dx+
xf(x)dx]
而f（x）为偶函数，即f（-x）=f（x）
∴
(-x2)f(x)dx=
t2f(-t)dt=-
t2f(t)dt（令t=-x）
(-x)f(x)dx=
tf(-t)(-dt)=
tf(t)dt（令t=-x）
∴
(-x2)f(x)dx+
x2f(x)dx=0
而
xf(x)dx=
xf(x)dx+
xf(x)dx
=
(-t)f(-t)(-dt)+
xf(x)dx
=-
tf(t)dt+
xf(x)dx=0
∴Cov（X，|X|）=0
∴ρXY=
=0
Cov（X，|X|）=E（X|X|）-E（X）•E（|X|）
=
| ∫ | +∞ -∞ |
| ∫ | +∞ -∞ |
| ∫ | +∞ -∞ |
=
| ∫ | 0 -∞ |
| ∫ | +∞ 0 |
| ∫ | +∞ -∞ |
| ∫ | 0 -∞ |
| ∫ | +∞ 0 |
而f（x）为偶函数，即f（-x）=f（x）
∴
| ∫ | 0 -∞ |
| ∫ | 0 +∞ |
| ∫ | +∞ 0 |
| ∫ | 0 -∞ |
| ∫ | 0 +∞ |
| ∫ | +∞ 0 |
∴
| ∫ | 0 -∞ |
| ∫ | +∞ 0 |
而
| ∫ | +∞ -∞ |
| ∫ | 0 -∞ |
| ∫ | +∞ 0 |
=
| ∫ | 0 +∞ |
| ∫ | +∞ 0 |
=-
| ∫ | +∞ 0 |
| ∫ | +∞ 0 |
∴Cov（X，|X|）=0
∴ρXY=
| Cov(X，|X|) | ||||
|
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