设连续型随机变量X的概率密度函数是偶函数，且E（X2）＜∞，则X与|X|的相关系数为．

Question

设连续型随机变量X的概率密度函数是偶函数，且E（X²）＜∞，则X与|X|的相关系数为______．

Answer 1

设随机变量X的概率密度函数为f（x），则
Cov（X，|X|）=E（X|X|）-E（X）•E（|X|）
=

∫

+∞ -∞

x|x|f(x)dx-

∫

+∞ -∞

xf(x)dx•

∫

+∞ -∞

|x|f(x)dx
=

∫

0 -∞

(-x2)f(x)dx+

∫

+∞ 0

x2f(x)dx-

∫

+∞ -∞

xf(x)dx•[

∫

0 -∞

(-x)f(x)dx+

∫

+∞ 0

xf(x)dx]
而f（x）为偶函数，即f（-x）=f（x）
∴

∫

0 -∞

(-x2)f(x)dx=

∫

0 +∞

t2f(-t)dt=-

∫

+∞ 0

t2f(t)dt（令t=-x）

∫

0 -∞

(-x)f(x)dx=

∫

0 +∞

tf(-t)(-dt)=

∫

+∞ 0

tf(t)dt（令t=-x）
∴

∫

0 -∞

(-x2)f(x)dx+

∫

+∞ 0

x2f(x)dx=0
而

∫

+∞ -∞

xf(x)dx=

∫

0 -∞

xf(x)dx+

∫

+∞ 0

xf(x)dx
=

∫

0 +∞

(-t)f(-t)(-dt)+

∫

+∞ 0

xf(x)dx
=-

∫

+∞ 0

tf(t)dt+

∫

+∞ 0

xf(x)dx=0
∴Cov（X，|X|）=0
∴ρXY=(Cov(X，|X|))/(√(DX)•√(D|X|))=0