（2007•河南）如图，对称轴为直线x=72的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对

Question

（2007•河南）如图，对称轴为直线x=(7)/(2)的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）因为抛物线的对称轴是x=(7)/(2)，
设解析式为y=a（x-(7)/(2)）²+k．
把A，B两点坐标代入上式，得

a(6−(7)/(2))2+k＝0

a(0−(7)/(2))2+k＝4

，
解得a=(2)/(3)，k=-(25)/(6)．
故抛物线解析式为y=(2)/(3)（x-(7)/(2)）²-(25)/(6)，顶点为（(7)/(2)，-(25)/(6)）．

（2）∵点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y=(2)/(3)（x-(7)/(2)）²-(25)/(6)，
∴y＜0，
即-y＞0，-y表示点E到OA的距离．
∵OA是OEAF的对角线，
∴S=2S_△OAE=2×(1)/(2)×OA•|y|=-6y=-4（x-(7)/(2)）²+25．
因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）和（6，0），
所以自变量x的取值范围是1＜x＜6．
①根据题意，当S=24时，即-4（x-(7)/(2)）²+25=24．
化简，得（x-(7)/(2)）²=(1)/(4)．
解得x₁=3，x₂=4．
故所求的点E有两个，
分别为E₁（3，-4），E₂（4，-4），
点E₁（3，-4）满足OE=AE，
所以平行四边形OEAF是菱形；
点E₂（4，-4）不满足OE=AE，
所以平行四边形OEAF不是菱形；
②当OA⊥EF，且OA=EF时，平行四边形OEAF是正方形，
此时点E的坐标只能是（3，-3），
而坐标为（3，-3）的点不在抛物线上，
故不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形．