e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^n/n!的推导

Question

e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^n/n!的推导

Answer 1

由泰勒公式可以知道,
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+f'''(x0)/3!*(x-x0)^3+……+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n+Rn(x)
其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x0)^(n+1),这里ξ在x和x0之间,该余项称为拉格朗日型的余项.
那么在x0=0时候,代入上式得到
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!*x^2+f'''(0)/3!*x^3+……+f(n)(0)/n!*x^n+Rn,
这就是麦克劳林公式
显然在f(x)=e^x时,f(x)的任意阶导数都是等于e^x的,
即f(x)=f '(x)=f "(x)=…=f(n) (x)=e^x,
故f(0)=f '(0)=f "(0)=…=f(n) (0)=1
代入麦克劳林公式中,
就得到了
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+…+x^n/n!