已知x0，x0+π2是函数f（x）=cos2（wx-π6）-sin2wx（ω＞0）的两个相邻的零点（1）求f(π12)的值；（2）若对∀x∈[−7π12，0]，都有|f（x）-m|≤1，求实数m的取值范围．

Question

已知x₀，x₀+(π)/(2)是函数f（x）=cos²（wx-(π)/(6)）-sin²wx（ω＞0）的两个相邻的零点
（1）求f((π)/(12))的值；
（2）若对∀x∈[−(7π)/(12)，0]，都有|f（x）-m|≤1，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）=(1+cos(2ωx−(π)/(3)))/(2)−(1−cos2ωx)/(2)=(1)/(2)[cos(2ωx−(π)/(3))+cos2ωx]
=(1)/(2)[((1)/(2)cos2ωx+(√(3))/(2)sin2ωx)+cos2ωx]=(1)/(2)((√(3))/(2)sin2ωx+(3)/(2)cos2ωx)
=(√(3))/(2)（(1)/(2)sin2ωx+(√(3))/(2)cos2ωx）=(√(3))/(2)sin(2ωx+(π)/(3))．
由题意可知，f（x）的最小正周期T=π，
∴(2π)/(|2ω|)＝π，
又∵ω＞0，∴ω=1，∴f（x）=(√(3))/(2)sin(2x+(π)/(3))．
∴f((π)/(12))=(√(3))/(2)sin(2×(π)/(12)+(π)/(3))＝(√(3))/(2)sin(π)/(2)＝(√(3))/(2)．
（2）|f（x）-m|≤1，⇔f（x）-1≤m≤f（x）+1，
∵对∀x∈[−(7π)/(12)，0]，都有|f（x）-m|≤1，
∴m≥f（x）_max-1且m≤f（x）_min+1，
∵-(7π)/(12)≤x≤0，∴−(5π)/(6)≤2x+(π)/(3)≤(π)/(3)，∴−1≤sin(2x+(π)/(3))≤(√(3))/(2)，
∴-(√(3))/(2)≤(√(3))/(2)sin(2x+(π)/(3))≤(3)/(4)，
即f（x）_max=(3)/(4)，f（x）_min=−(√(3))/(2)，
∴-(1)/(4)≤m≤1−(√(3))/(2)．