求（x-tanx)/(x²sinx)当x趋于0时的极限值

Question

求（x-tanx)/(x²sinx)当x趋于0时的极限值

Answer 1

x→0
lim (x-tanx)/(x^2*sinx)
该极限为0/0型,利用L'Hospital法则
=lim (x-tanx)' / (x^2*sinx)'
=lim (1-1/cos^2x) / (2xsinx+x^2cosx)
=lim (-sin^2x/cos^2x) / (2xsinx+x^2cosx)
=lim (-sin^2x/cos^2x)/x^2 / (2xsinx+x^2cosx)/x^2
=lim (sin^2x/x^2)(-1/cos^2x) / (2(sinx/x)+cosx)
利用重要的极限：lim sinx/x=1
=(1)(-1) / (2*1+1)
=-1/3
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