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∫(x^3+x^2)^-1/2dx
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∫(x^3+x^2)^-1/2dx
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答案和解析
∫ (x³ + x²)^(- 1/2) dx
= ∫ 1/√(x³ + x²) dx
= ∫ 1/√[x²(1 + x)] dx
= ∫ 1/[x√(1 + x)] dx
令y² = 1 + x、2y dy = dx
= ∫ 1/[(y² - 1) · y] · (2y dy)
= ∫ 2/(y² - 1) dy
= ∫ [(y + 1) - (y - 1)]/[(y + 1)(y - 1)] dy
= ∫ [1/(y - 1) - 1/(y + 1)] dy
= ln|(y - 1)/(y + 1)| + C
= ln| [√(1 + x) - 1]/[√(1 + x) + 1] | + C
= ∫ 1/√(x³ + x²) dx
= ∫ 1/√[x²(1 + x)] dx
= ∫ 1/[x√(1 + x)] dx
令y² = 1 + x、2y dy = dx
= ∫ 1/[(y² - 1) · y] · (2y dy)
= ∫ 2/(y² - 1) dy
= ∫ [(y + 1) - (y - 1)]/[(y + 1)(y - 1)] dy
= ∫ [1/(y - 1) - 1/(y + 1)] dy
= ln|(y - 1)/(y + 1)| + C
= ln| [√(1 + x) - 1]/[√(1 + x) + 1] | + C
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