数学分析中的确界(supremumandinfimum)具有些什么性质?求助各位大侠本人数学专业,但我们的数学分析书上只有确界的定义的确界存在原理我还想知道确界具有些什么性质,比如说supf(x)+supg(x)

Question

数学分析中的确界(supremum and infimum)具有些什么性质?求助各位大侠
本人数学专业,但我们的数学分析书上只有确界的定义的确界存在原理
我还想知道确界具有些什么性质,比如说supf(x)+supg(x)

Answer 1

有界集定义
　　定义一：设S为R的一个数集.若存在数M（L）,使得对一切x∈S,都有x≤M（x≥L）,则称S为有上界（下界）的数集,数M（L）称为S的一个上界（下界）.
　　若数集S既有上界又有下界,则称S为有界集.若S不是有界集,则称S为无界集.例题：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界.
　　证：显然,任何一个不大于零1的实数都是N+的下界,故N+为有下界的数集.
　　现在要证N无上界,按照定义,只需证明：对于无论多么大的数M,总存在某个正整数n0（∈N+）,使得n0>M.事实上,对于任何一个正数M（不论这个数是多么的大）,总存在一个数N=[M]+1([X]表示不超过X的最大整数),使得N>M.这就证明了N+无上界.
　　确界的定义
　　文字描述：若数集S有上界,显然S有无穷多个上界（因为任何大于有界集S最大的数都是S的上界）,其中最小的一个我们将它称为S的上确界（用sup S表示）.同样的有,有下界数集S的最大下界称为该数集的下确界（用inf S表示）.（sup为拉丁文supermun的简写,inf为拉丁文infimun的简写）.
　　上确界定义：设S是R中的一个数集,若数η满足
　　（i）对一切x∈S,有η≥S,即η是S的上界；
　　（ii）对任何的aa,即η是S的最小上界,则称η为数集s的上确界；
　　下确界定义：设S是R的一个数集,若数ξ满足：
　　（i）对一切x∈S,有ξ≤x,即ξ是S的下界；
　　（i）对任何的β>ξ,存在x0∈S,使得x0