求不定方程1/x+1/y+1/z=1的所有正整数解（要过程）

Question

求 不定方程1/x+1/y+1/z=1的所有正整数解（要过程）

Answer 1

答：
由于对称性,不妨设
2≤x≤y≤z.
所以
xy≤yz,xz≤yz.
1/x+1/y+1/z=1.两边都乘以xyz,
yz+xz+xy=xyz.
所以
xyz=yz+xz+xy≤yz+yz+yz=3yz,
所以
x≤3.
由
2≤x≤3.
当x=2.
1/y+1/z=1/2.
2(z+y)=yz.
(y-2)(z-2)=4.
所以
y-2=1,z-2=4
或
y-2=2,z-2=2
或
y-2=4,z-2=1
于是得到解(x,y,z):(2,3,6),(2,4,4).
当x=3.
1/y+1/z=2/3.
3(z+y)=2yz.
于是
(2y-3)(2z-3)=9.
所以
2y-3=1,2z-3=9
或
2y-3=3,2z-3=3
或
2y-3=9,2z-3=1
于是得到解(x,y,z):(3,3,3).
综上,原方程的解为
(x,y,z):
(3,3,3)
(2,4,4)
(4,2,4)
(4,4,2)
(2,3,6)
(2,6,3)
(3,2,6)
(3,6,2)
(6,2,3)
(6,3,2)