试证所有切于曲面z=xf(y/x)的平面都交于一点

Question

试证所有切于曲面z=xf(y/x)的平面都交于一点

Answer 1

证：设P(a,b,c)为曲面上任意一点坐标.
z`x,z`y分别表示表示z对x,y求偏导.
z`x=f(y/x)+x(-y/x²)f`(y/x)=f(y/x)-(y/x)f`(y/x)
z`y=xf`(y/x)(1/x)=f`(y/x)
则过点P的切平面方程为
[f(b/a)-(b/a)f`(b/a)](x-a)+f`(b/a)(y-b)-(z-c)=0,即
[f(b/a)-(b/a)f`(b/a)]x+bf`(b/a)-af(b/a)+f`(b/a)y-f`(b/a)b
-z+c=[f(b/a)-(b/a)f`(b/a)]x+f`(b/a)y-z-af(b/a)+c=0
因为点P在已知曲面上,故c=af(b/a),所以
[f(b/a)-(b/a)f`(b/a)]x+f`(b/a)y-z=0
该方程显然经过原点.