求二元函数z=f（x，y）=x2y（4-x-y）在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区间D的极值、最大值、最小值．

Question

求二元函数z=f（x，y）=x²y（4-x-y）在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区间D的极值、最大值、最小值．

Answer 1

∵z=f（x，y）=x²y（4-x-y），
∴

z

′ x

＝2xy(4−x−y)−x2y，
 

z

′ y

＝x2(4−x−y)−x2y，
令：

z

′ x

＝

z

′ y

＝0，
解得：x=0（0≤y≤6）以及（4，0）、（2，1）
又点（4，0）和线段x=0（0≤y≤6）是在区域D的边界上，只有点（2，1）在区域的内部，
因此，只有（2，1）是可能的极值点，
又：

z

″ xx

＝8y−6xy−2y2，

z

″ xy

＝8x−3x2−4xy，

z

″ yy

＝−2x2
∴在点（2，1）处
A=[8y-6xy-2y²]|（2，1）=-6＜0，
B=[8x-3x²-4xy]|（2，1）=-4，
C=[-2x²]|（2，1）=-8，
∴AC-B²=16-48＜0，且A＜0，
∴点（2，1）是极大值点，z=f（2，1）=4就是极大值，
而在边界x=0（0≤y≤6）和y=0（0≤x≤6）上，有f（x，y）=0，
在边界x+y=6上，将y=6-x代入到z=f（x，y）中，得：
z=2x³-12x²（0≤x≤6），
此时：z′=6x²-24x，
令：z′=0，解得：x=0，x=4，
而z′（0）=6，（0，6）在边界上，已讨论，
又：z″|_x=4=12x-24|_x=4=24＞0
因此点（4，2）是边界上的极小值点，极小值为：f（4，2）=-64，
比较f（2，1）=4，f（4，2）=-64和边界x=0（0≤y≤6）和y=0（0≤x≤6）上f（x，y）=0，
则：
最大值为：f（2，1）=4，最小值为：f（4，2）=-64．