RT,别跟我说费马大定理,我要的是x^3+y^3=z^3为什么没有正整数解,

Question

RT,别跟我说费马大定理,我要的是x^3+y^3=z^3
为什么没有正整数解,

Answer 1

不让说费马大定理
那你到底要什么呢
人家都证明了没正整数解.
你要问为为什么,看这个
欧拉对x 3 +y 3 =z 3没有整数解的证明
欧拉利用反证法.欧拉利用反证法. 假定x 3 +y 3 =z 3有整数解,那麼有两个未知数必须是奇数,因此我们可以假定z是偶数而x和y是奇数,於是我们可以改写：假定x 3 +y 3 =z 3有整数解,那么有两个未知数必须是奇数,因此我们可以假定z是偶数而x和y是奇数,于是我们可以改写：
x+y=2p 及x=y=2q x+y=2p及x=y=2q
使得x=p+q 和y=pq使得x=p+q和y=pq
由於z 3 =x 3 +y 3 =(x+y)(x 2 -xy+y 2 )=2p(p 2 +3q 2 )由于z 3 =x 3 +y 3 =(x+y)(x 2 -xy+y 2 )=2p(p 2 +3q 2 )
因p+q和pq是奇数,p,q不能同时是偶数或同时是奇数.因p+q和pq是奇数,p,q不能同时是偶数或同时是奇数. 而且p,q的最大公约数是1.而且p,q的最大公约数是1.
由以上的式子我们可以看出不可能是「p是奇数,q是偶数」,因为不然我们就有z 3能被2整除而不能被8整除,这是不可能的事.由以上的式子我们可以看出不可能是「p是奇数,q是偶数」,因为不然我们就有z 3能被2整除而不能被8整除,这是不可能的事. 因此必须是「p是偶数,q是奇数」,於是我们推论p 2 +3q 2是奇数.因此必须是「p是偶数,q是奇数」,于是我们推论p 2 +3q 2是奇数. 由於p和q互素(即最大公约数GCD(p,q)=1),因此2p和p 2 +3q 2可能是互素或有一个3的因子.由于p和q互素(即最大公约数GCD(p,q)=1),因此2p和p 2 +3q 2可能是互素或有一个3的因子.
第一种情况： 2p和p 2 +3q 2是互素. 第一种情况： 2p和p 2 +3q 2是互素.
3不能整除p也不能整除z. 3不能整除p也不能整除z. 由於2p和p 2 +3q 2是互素,每一个一定是一个完全立方数.由于2p和p 2 +3q 2是互素,每一个一定是一个完全立方数.
利用公式利用公式
(a 2 +3b 2 ) 3 =(a 3 -9ab 2 ) 2 +3(3a 2 b-3b 3 ) 2
我们可以找到形如p 2 +3q 2的立方数,通过找a和b使设我们可以找到形如p 2 +3q 2的立方数,通过找a和b使设
p=a 3 -9ab 2及q=3a 2 b-3b 3 p=a 3 -9ab 2及q=3a 2 b-3b 3
(欧拉在这裏认为这是唯一的方法可以使p 2 +3q 2是一个立方数.而这要在一百年之后用德国数学家Kummer的工作,可以证明是对的.) (欧拉在这里认为这是唯一的方法可以使p 2 +3q 2是一个立方数.而这要在一百年之后用德国数学家Kummer的工作,可以证明是对的.)
将p和q分解因式：将p和q分解因式：
p =a(a-3b)(a+3b)
q =3a(ab)(a+b)
而这裏a和b是互素.而这里a和b是互素. 另外另外
2p=2a(a-3b)(a+3b)=立方数 2p=2a(a-3b)(a+3b)=立方数
由於3不能整除p,2a,a-3b和a+3b是两个互素,因此它们都是立方数.由于3不能整除p,2a,a-3b和a+3b是两个互素,因此它们都是立方数. 我们会得到我们会得到
2a=A 3 , a-3b=B 3及a+3b=C 3 2a=A 3 , a-3b=B 3及a+3b=C 3
由此我们可设由此我们可设
A 3 +B 3 =C 3
可是A 3 ×B 3 ×C 3 =2p可是A 3 ×B 3 ×C 3 =2p
而且是z 3的因子,因此我们有而且是z 3的因子,因此我们有
A 3 ×B 3 ×C 3 ＜z 3
A,B,C中会有负数；我们可以将负数移到等号的另一边使到方程式定形如 A,B,C中会有负数；我们可以将负数移到等号的另一边使到方程式定形如
A *3 +B *3 =C *3
的形式,而A * ,B * ,C *都是正数,因此给出n=3的较小的解.的形式,而A * ,B * ,C *都是正数,因此给出n=3的较小的解.
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第二种情况： 3能整除p,我们可写p=3s,又因为q不能被3整除,我们有 第二种情况： 3能整除p,我们可写p=3s,又因为q不能被3整除,我们有
z 3 =2p(p 2 +3q 2 )
=9×2s(3s 2 +q 2 )
我们见到9×2s及3s 2 +q 2是互素,因此它们都是立方数.我们见到9×2s及3s 2 +q 2是互素,因此它们都是立方数. 用原第一种情况的理由,我们知道3s 2 +q 2只有当q=a(a-3b)(a+3b)及s=3b(ab)(a+b)时方能成为立方数.用原第一种情况的理由,我们知道3s 2 +q 2只有当q=a(a-3b)(a+3b)及s=3b(ab)(a+b)时方能成为立方数. 由於由于
9×2s=27×2b(ab)(a+b)
是立方数,因此2b(ab)(a+b)必须是立方数,因此我们可以推导至是立方数,因此2b(ab)(a+b)必须是立方数,因此我们可以推导至
A 3 +B 3 =C 3 A＜x,B＜y,C＜z
根据无穷下降法原理,这是不可能的事.根据无穷下降法原理,这是不可能的事.
因此我们证明了当z是偶数,x和y是奇数时,x 3 +y 3 =z 3不可能有整数解.因此我们证明了当z是偶数,x和y是奇数时,x 3 +y 3 =z 3不可能有整数解. 如果x(或者y)是偶数,我们可以考虑下式如果x(或者y)是偶数,我们可以考虑下式
x 3 =z 3 -y 3 (或者y 3 =z 3 -x 3 ) x 3 =z 3 -y 3 (或者y 3 =z 3 -x 3 )
再用像前面的推证就可以证到x 3 +y 3 =z 3没有整数解.再用像前面的推证就可以证到x 3 +y 3 =z 3没有整数解.