数列{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，它的前n项和记为An，数列{bn}是公比为q（q≠1）的等比数列，它的前n项和记为Bn．若a1=b1≠0，且存在不小于3的正整数k，m，使ak=bm．（1）若a1=1，d=2，q=3

Question

数列{a_n}是公差为d（d≠0）的等差数列，它的前n项和记为A_n，数列{b_n}是公比为q（q≠1）的等比数列，它的前n项和记为B_n．若a₁=b₁≠0，且存在不小于3的正整数k，m，使a_k=b_m．
（1）若a₁=1，d=2，q=3，m=4，求A_k．
（2）若a₁=1，d=2，试比较A_2k与B_2m的大小，并说明理由；
（3）若q=2，是否存在整数m，k，使A_k=86B_m，若存在，求出m，k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由a₁=1，d=2，q=3，可得a_n=2n-1，b_n=3^n-1，
a_k=b₄=3³=27，即2k-1=27，解得k=14，A₁₄=14+(14×13)/(2)×2=196；        
（2）依题意，a₁=1，d=2，可得a_n=2n-1，A_n=n²，
A_2k=4k²，且q^m-1=2k-1，显然q>1．
又B_2m=(1-q2m)/(1-q)=(1)/(q-1)[（2k-1）²q²-1]，
所以B_2m-A_2k=(1)/(q-1)[（2k-1）²q²-1]-4k²=(1)/(q-1)[（2k-1）²q²-4qk²+（4k²-1）]，
设f（x）=（2k-1）²x²-4xk²+（4k²-1），f（1）=（2k-1）²x²-1，
它是关于x的二次函数，它的图象的开口向上，
它的对称轴方程x=(4k2)/(2(2k-1)2)<1，故f（x）是（1，+∞）上的增函数，
所以当x>1时f（x）>f（1）>0，即B_2m-A_2k>0，所以A_2k<B_2m．            
（3）依题意：a_k=b_m=a₁•2^m-1，
由A_k=86B_m得：(a1+ak)/(2)•k=86•(a1-qam)/(1-q)，
即(a1+a1•2m-1)/(2)•k=86•(a1-2ma1)/(1-2)，
可得2^m=(4×86+2k)/(4×86-k)=(12×86)/(4×86-k)-2，
所以344-k=(516)/(2m-1+1)，
因为2⁹=512，故m-1≤9，且516=4×129=4×3×43，且2^m-1+1为奇数，
则其中2^m-1+1=129时，(516)/(2m-1+1)是整数，
故m-1=7，可得存在m=8且k=340．