设某商品的需求函数为Q=100-5P，其中价格P∈（0，20），Q为需求量．（Ⅰ）求需求量对价格的弹性Ed（Ed＞0）；（Ⅱ）推导dRdP＝Q(1−Ed)（其中R为收益），并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时

Question

设某商品的需求函数为Q=100-5P，其中价格P∈（0，20），Q为需求量．
（Ⅰ）求需求量对价格的弹性E_d（E_d＞0）；
（Ⅱ）推导(dR)/(dP)＝Q(1−Ed)（其中R为收益），并用弹性E_d说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加．

Answer 1

（I）Ed＝|(P)/(Q)(dQ)/(dP)|=5(P)/(Q)
=5(P)/(100−5p)=(P)/(20−P)．
故：E_d=(P)/(20−P)．
（II） 由于 R=PQ，对等式两边微分得：
(dR)/(dP)=(d(PQ))/(dp)=Q+P(dQ)/(dp)=Q（1+(P)/(Q)(dQ)/(dP)）
由于：Ed＝|(P)/(Q)(dQ)/(dP)|＝−(P)/(Q)(dQ)/(dP)
所有：(dR)/(dP)=Q（1+(P)/(Q)(dQ)/(dP)）=Q（1-E_d）．
当价格弹性为1时：即Ed＝(P)/(20−P)＝1，得P=10．
已知E_d=(P)/(20−P)=-1+(20)/(20−p)为单调递增函数因此当：
当10＜P＜20时，E_d＞1，于是(dR)/(dP)=Q（1-E_d）＜0；．，
故当10＜P＜20时，降低价格反而使收益增加．
当0＜P＜10时，E_d＜1，于是(dR)/(dP)=Q（1-E_d）＞0；．，
故当0＜P＜10时，降低增加使收益增加．

综上：需求对价格的弹性为(P)/(20−P)，当0＜P＜10时，降低增加使收益增加，当10＜P＜20时，降低价格反而使收益增加．