在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，点Q在AB上，且AQ=2，过Q做QR⊥AB，垂足为Q，QR交折线AC-CB于R（如图1），当点Q以每秒2个单位向终点B移动时，点P同时从A出发，以每秒6个单位的速度沿AB-BC-CA移

Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，点Q在AB上，且AQ=2，过Q做QR⊥AB，垂足为Q，QR交折线AC-CB于R（如图1），当点Q以每秒2个单位向终点B移动时，点P同时从A出发，以每秒6个单位的速度沿AB-BC-CA移动，设移动时间为t秒（如图2）．

（1）求△BCQ的面积S与t的函数关系式．
（2）t为何值时，QP∥AC？
（3）t为何值时，直线QR经过点P？
（4）当点P在AB上运动时，以PQ为边在AB上方所作的正方形PQMN在Rt△ABC内部，求此时t的取值范围．

Answer 1

（1）过C作CD⊥AB于D点，如图所示：

∵AB=10，AQ=2+2t，
∴QB=AB-AQ=10-（2+2t）=8-2t，
在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，
根据勾股定理得：BC=6，
∵(1)/(2)AC•BC=(1)/(2)AB•CD，即(1)/(2)×6×8=(1)/(2)×10×CD，
∴CD=(24)/(5)，
则S_△BCQ=(1)/(2)QB•CD=(12)/(5)（8-2t）=-(24)/(5)t+(96)/(5)（0≤t≤8）；

（2）当PQ∥AC时，可得∠BPQ=∠C，∠BQP=∠A，
∴△BPQ∽△BCA，又BQ=8-2t，BP=6t-10，
∴(BQ)/(BA)=(BP)/(BC)，即(8−2t)/(10)=(6t−10)/(6)，
整理得：6（8-2t）=10（6t-10），
解得：t=(37)/(18)，
则t=(37)/(18)时，QP∥AC；


（3）①当Q、P均在AB上时，AP=6t，AQ=2+2t，
可得：AP=AQ，即6t=2+2t，
解得：t=0.5s；
②当P在BC上时，P与R重合，如图所示：

∵∠PQB=∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△BPQ∽△BAC，
∴(BP)/(AB)=(BQ)/(BC)，又BP=6t-10，AB=10，BQ=8-2t，BC=6，
∴(6t−10)/(10)=(8−2t)/(6)，即6（6t-10）=10（8-2t），
解得：t=2.5s；
③当P在AC上不存在QR经过点P，
综上，当t=0.5s或2.5s时直线QR经过点P；

（4）当点P在点Q的左侧时，若点N落在AC上，如图所示：

∵AP=6t，AQ=2+2t，
∴PQ=AQ-AP=2+2t-6t=2-4t，
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN=PQ=2-4t，
∵∠APN=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△APN∽△ACB，
∴(PN)/(BC)=(AP)/(AC)，即(2−4t)/(6)=(6t)/(8)，
解得：t=(4)/(17)，
当点P在点Q的右侧时，若