刚体力学将一根长为L,质量为m的均匀杆上长为l（l＜L/2）的一端搁在桌边,另一端用手托住,使杆处于水平状态.现释放手托的一端,试问,当杆转过得角度θ为多大时,杆开始滑离桌边?设杆与桌边

Question

刚体力学
将一根长为L,质量为m的均匀杆上长为l（l＜L/2）的一端搁在桌边,另一端用手托住,使杆处于水平状态.现释放手托的一端,试问,当杆转过得角度θ为多大时,杆开始滑离桌边?设杆与桌边之间的摩擦系数为μ

Answer 1

设θ时刚好滑动,则之前杆绕接触点转动,由机械能守恒得 mg(L/2-l)sinθ=(Jw^2)/2.
其中J为以接触点为轴的转动惯量J=(mL^2)/3+ml^2+mLl.w为角速度.
又此时有角加速度B.为mg(L/2-l)cosθ=BJ.
求得w.可得质心角速度w此时接触点摩擦力提供向心力,由质心运动定理可知f=mw^2(L/2-l)
由以质心为轴,接触点压力N提供力矩导致角加速度.N(L/2-l)=B(mL^2)/12.
由以上两式得到f、N,因为是临界情况,有f=μN.分别代入可得.