已知两点P（-2，2），Q（0，2）以及一条直线：L：y=x，设长为2的线段AB在直线L上移动，如图，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．（要求把结果写成普通方程）

Question

已知两点P（-2，2），Q（0，2）以及一条直线：L：y=x，设长为√(2)的线段AB在直线L上移动，如图，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．（要求把结果写成普通方程）

Answer 1

由于线段AB在直线y=x上移动，且AB的长√(2)，
所以可设点A和B分别是（a，a）和（a+1，a+1），其中a为参数
于是可得：直线PA的方程是y-2=(a-2)/(a+2)(x+2)(a≠-2)(1)
直线QB的方程是y-2=(a-1)/(a+1)x(a≠-1)(2)
（1）当(a-2)/(a+2)=(a-1)/(a+1)，即a=0时，
直线PA和QB平行，无交点
（2）当a≠0时，直线PA与QB相交，
设交点为M（x，y），由（2）式得y-2=(1-(2)/(a+1))x，a+1=(2x)/(x-y+2)，
∴a+2=(3x-y+2)/(x-y+2)，a-2=(3y-x-6)/(x-y+2).
将上述两式代入（1）式，得
y-2=(3y-x-6)/(3x-y+2)(x+2)整理得x²-y²+2x-2y+8=0，
即((x+1)2)/(8)-((y+1)2)/(8)=-1(*)
当a=-2或a=-1时，直线PA和QB仍然相交，并且交点坐标也满足（*）式
所以（*）式即为所求动点的轨迹方程．