已知点A的坐标为（-4，4），直线l的方程为3x+y-2=0，求：（1）点A关于直线l的对称点A′的坐标；（2）直线l关于点A的对称直线l′的方程．

Question

已知点A的坐标为（-4，4），直线l的方程为3x+y-2=0，求：
（1）点A关于直线l的对称点A′的坐标；
（2）直线l关于点A的对称直线l′的方程．

Answer 1

（1）设点A′的坐标为（x′，y′）．
因为点A与A′关于直线l对称，所以AA′⊥l，且AA′的中点在l上，而直线l的斜率是-3，所以k_AA'′=(1)/(3)．
又因为k_AA'=(y′−4)/(x′+4)，所以(y′−4)/(x′+4)＝(1)/(3)…①．
再因为直线l的方程为3x+y-2=0，AA′的中点坐标是（(x′−4)/(2)，(y′+4)/(2)），所以3•(x′−4)/(2)+(y′+4)/(2)-2=0…②．
由①和②，解得x′=2，y′=6．所以A′点的坐标为（2，6）．
（2）关于点A对称的两直线l与l′互相平行，于是可设l′的方程为3x+y+c=0．在直线l上任取一点M（0，2），其关于点A对称的点为M′（x′，y′），于是M′点在l′上，且MM′的中点为点A，由此得(x′+0)/(2)＝−4，(y′+2)/(2)＝4，即：x′=-8，y′=6．
于是有M′（-8，6）．因为M′点在l′上，
所以3×（-8）+6+c=0，∴c=18．
故直线l′的方程为3x+y+18=0．