已知函数f（x）=3x2+2（k-1）x+k+5（k∈R）（1）对任意k∈（-1，1），不等式f（x）＜0恒成立，求x的取值范围；（2）若函数在区间（0，2）内有零点，求k的取值范围．

Question

已知函数f（x）=3x²+2（k-1）x+k+5（k∈R）
（1）对任意k∈（-1，1），不等式f（x）＜0恒成立，求x的取值范围；
（2）若函数在区间（0，2）内有零点，求k的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=3x²+2（k-1）x+k+5，（k∈R），
∴设g（k）=（2x+1）k+3x²-2x+5，k∈（-1，1）；
∴

g(−1)＜0

g(1)＜0

；
即

3x2−4x+4＜0

3x2+6＜0

，
解得x∈∅，
∴x的取值范围是∅；
（2）∵函数f（x）=3x²+2（k-1）x+k+5在区间（0，2）内有零点，
等价于方程3x²+2（k-1）x+k+5=0在区间（0，2）内有实数根，
则（i）判别式△=4（k-1）²-12（k+5）=0时，得k=7或k=-2，
此时方程的根分别是k=7时，根是x₁=x₂=-2；
k=-2时，根是x₁=x₂=1；
∵方程在（0，2）内有实数根，∴k=-2（k=7舍去）；
（ii）判别式△＞0时，则k＞7或k＜-2，
①若两根都在（0，2）内，则对称轴x=-(k−1)/(3)在（0，2）内，f（0）＞0、f（2）＞0，
即

△＝4(k−1)2−12(k+5)＞0

0＜−(k−1)/(3)＜2

f(0)＝k+5＞0

f(2)＝12+4(k−1)+k+5＞0

；
解得

k＞7或k＜−2

−5＜k＜1

k＞−5

k＞−(13)/(5)

；
∴-(13)/(5)＜k＜-2；
②若方程在（0，2）内存在一个根，则f（0）•f（2）＜0，
解得-5＜k＜-(13)/(5)；
（iii）当f（2）=0时，即12+4（k-1）+k+5=0，k=-(13)/(5)，
此时f（0）=k+5=(12)/(5)＞0，∴k=-(13)/(5)符合题意；
当f（0）=k+5=0时，k=-5，此时f（2）=12+4（k-1）+k+5=-12＜0，不符合题意，舍去；
∴k=-(13)/(5)；
综上，k的取值范围是{k|-5＜k≤-2}．