在数列{an}中，an=1n（n∈N*）．从数列{an}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{bn}，并称{bn}为数列{an}的k项子列．例如数列12，13，15，18为{an}的一个4项子列．（Ⅰ）试写出数列{an}的

Question

在数列{a_n}中，a_n=(1)/(n)（n∈N^*）．从数列{a_n}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{b_n}，并称{b_n}为数列{a_n}的k项子列．例如数列(1)/(2)，(1)/(3)，(1)/(5)，(1)/(8)为{a_n}的一个4项子列．
（Ⅰ）试写出数列{a_n}的一个3项子列，并使其为等差数列；
（Ⅱ）如果{b_n}为数列{a_n}的一个5项子列，且{b_n}为等差数列，证明：{b_n}的公差d满足-(1)/(8)＜d＜0；
（Ⅲ）如果{c_n}为数列{a_n}的一个m（m≥3）项子列，且{c_n}为等比数列，证明：c₁+c₂+c₃+…+c_m≤2-(1)/(2m−1)．

Answer 1

（Ⅰ）答案不唯一．如3项子列(1)/(2)，(1)/(3)，(1)/(6)；
（Ⅱ）证明：由题意，知1≥b₁＞b₂＞b₃＞b₄＞b₅＞0，
所以d=b₂-b₁＜0．
假设b₁=1，
由{b_n}为{a_n}的一个5项子列，得b2≤(1)/(2)，
所以d＝b2−b1≤(1)/(2)−1＝−(1)/(2)．
因为b₅=b₁+4d，b₅＞0，
所以4d=b₅-b₁=b₅-1＞-1，即d＞−(1)/(4)．
这与d≤−(1)/(2)矛盾．
所以假设不成立，即b₁≠1．
所以b1≤(1)/(2)，
因为b₅=b₁+4d，b₅＞0，
所以4d＝b5−b1≥b5−(1)/(2)＞−(1)/(2)，即d＞−(1)/(8)，
综上，得−(1)/(8)＜d＜0．
（Ⅲ）证明：由题意，设{c_n}的公比为q，
则c1+c2+c 3+…+cm＝c1(1+q+q2+…+qm−1)．
因为{c_n}为{a_n}的一个m项子列，
所以q为正有理数，且q＜1，c1＝(1)/(a)≤1 (a∈N*)．
设q＝(K)/(L)(K，L∈N*，且K，L互质，L≥2）．
当K=1时，
因为q＝(1)/(L)≤(1)/(2)，
所以c1+c2+c 3+…+cm＝c1(1+q+q2+…+qm−1)≤1+(1)/(2)+((1)/(2))2+…+((1)/(2))m−1=2−((1)/(2))m−1，
所以c1+c2+c 3+…+cm≤2−((1)/(2))m−1．
当K≠1时，
因为cm＝c1qm−1＝(1)/(a)×(Km−1)/(Lm−1)是{a_n}中的项，且K，L互质，
所以a=K^m-1×M（M∈N^*），
所以c1+c2+c 3+…+cm＝c1(1+q+q2+…+qm−1)=(1)/(M)((1)/(Km−1)+(1)/(Km−2L)+(1)/(Km−3L2)+…+(1)/(Lm−1))．
因为L≥2，K，M∈N^*，
所以c1+c2+c 3+…+cm≤1+(1)/(2)+((1)/(2))2+…+((1)/(2))m−1＝2−((1)/(2))m−1．
综上，c1+c2+c 3+…+cm≤2−(1)/(2m−1)．