（2014•杭州）已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线AD，射线BC上．若点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则（）A．1+tan∠ADB=2B．2BC=5CFC．∠AEB+22°=∠DEFD．4cos∠AG

Question

（2014•杭州）已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线AD，射线BC上．若点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则（　　）

A．1+tan∠ADB=√(2)
B．2BC=5CF
C．∠AEB+22°=∠DEF
D．4cos∠AGB=√(6)

Answer 1

如图，连接CE，设EF与BD相交于点O，
由轴对称性得，AB=AE，设为1，
则BE=√(12+12)=√(2)，
∵点E与点F关于BD对称，
∴DE=BF=BE=√(2)，
∴AD=1+√(2)，
∵AD∥BC，AB⊥AD，AB=AE，
∴四边形ABCE是正方形，
∴BC=AB=1，
1+tan∠ADB=1+(1)/(1+√(2))=1+√(2)-1=√(2)，故A正确；
CF=BF-BC=√(2)-1，
∴2BC=2×1=2，
5CF=5（√(2)-1），
∴2BC≠5CF，故B错误；
∠AEB+22°=45°+22°=67°，
在Rt△ABD中，BD=√(AB2+AD2)=√(12+(√(2)+1)2)=√(4+2√(2))，
sin∠DEF=sin∠ABD=(OD)/(DE)=(√(4+2√(2)))/(2√(2))=(√(2+√(2)))/(2)，
∴∠DEF≠67°，故C错误；
由勾股定理得，OE²=（√(2)）²-（(√(4+2√(2)))/(2)）²=(4−2√(2))/(4)，
∴OE=(√(4−2√(2)))/(2)，
∵∠EBG+∠AGB=90°，
∠EGB+∠BEF=90°，
∴∠AGB=∠BEF，
又∵∠BEF=∠DEF，
∴4cos∠AGB=(OE)/(DE)=((√(4−2√(2)))/(2))/(√(2))=(√(2−√(2)))/(2)，故D错误．
故选：A．