（2013•沈阳模拟）在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．（1）如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．①求证：BE=BF．②请判断△AGC的形状，并说明理

Question

（2013•沈阳模拟）在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．
（1）如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．
①求证：BE=BF．
②请判断△AGC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）

Answer 1

（1）证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AB∥DC，AD∥BC，
∴∠F=∠FDC，∠BEF=∠ADF，
∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠ADF=∠FDC，
∴∠F=∠BEF，
∴BF=BE；
②△AGC是等腰直角三角形．
理由如下：连接BG，
由①知，BF=BE，∠FBC=90°，
∴∠F=∠BEF=45°，
∵G是EF的中点，
∴BG=FG，∠F=∠CBG=45°，
∵∠FAD=90°，
∴AF=AD，
又∵AD=BC，
∴AF=BC，
在△AFG和△CBG中，

AF＝BC

∠F＝∠CBG＝45°

BG＝FG

，
∴△AFG≌△CBG（SAS），
∴AG=CG，
∴∠FAG=∠BCG，
又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB=90°，
∴∠BCG+∠GAC+∠ACB=90°，
即∠GAC+∠ACG=90°，
∴∠AGC=90°，
∴△AGC是等腰直角三角形；

（2）连接BG，∵FB绕点F顺时针旋转60°至FG，
∴△BFG是等边三角形，
∴FG=BG，∠FBG=60°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°
∴∠CBG=180°-∠FBG-∠ABC=180°-60°-60°=60°，
∴∠AFG=∠CBG，
∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠ADF=∠FDC，
∵AB∥DC，
∴∠AFD=∠FDC，
∴∠AFD=∠ADF，
∴AF=AD，
在△AFG和△CBG中，

FG＝BG

∠AFG＝∠CBG

AF＝BC

，
∴△AFG≌△CBG（SAS），
∴AG=CG，∠FAG=∠BCG，
在△ABC中，∠GAC+∠ACG=∠ACB+∠BCG+∠GAC=∠ACB+∠BAG+∠GAC=∠ACB+∠BAC=180°-60°=120°，
∴∠AGC=180°-（∠GAC+∠ACG）=180°-120°=60°，
∴△AGC是等边三角形．