设b＞a＞e，证明ab＞ba．

Question

设b＞a＞e，证明a^b＞b^a．

Answer 1

证明：令f（x）=(lnx)/(x)；
由拉格朗日定理有：
f（b）-f（a）=f'（x）（b-a）=（(lnx)/(x)）'（b-a）；x∈（a，b）
又有：f'（x）=（(lnx)/(x)）'=(1−lnx)/(x2)
由于，e＜a＜x＜b，
因此：1=lne＜lnx；
1-lnx＜，b-a＞0
所以：（(lnx)/(x)）'（b-a）＜0
即：f（b）-f（a）＜0；
即：(lnb)/(b)-(lna)/(a)＜0；
即：(lnb)/(b)＜(lna)/(a)；
又a，b都大于0，上式不等式两边同乘以ab；得
blna＞alnb；
即可得：
e^blna＞e^alnb
即：elnab＞elnba
即：a^b＞b^a．
命题得证．