（2013•北京）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的关联点．已知点D（12，12），E（0，-2），F（23，0）．（1）当⊙O的

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（2013•北京）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的关联点．已知点D（

，

），E（0，-2），F（2

，0）．
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点D、E、F中，⊙O的关联点是______．
②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；
（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．

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答案和解析

（1）①如图1所示，过点E作⊙O的切线设切点为R，
∵⊙O的半径为1，∴RO=1，
∵EO=2，
∴∠OER=30°，
根据切线长定理得出⊙O的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30°，
∴E点是⊙O的关联点，
∵D（

，

），E（0，-2），F（2

，0），
∴OF＞EO，DO＜EO，
∴D点一定是⊙O的关联点，而在⊙O上不可能找到两点与点F的连线的夹角等于60°，
故在点D、E、F中，⊙O的关联点是D，E；
故答案为：D，E；

②如图2，由题意可知，若P要刚好是⊙C的关联点，
需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°，
由图2可知∠APB=60°，则∠CPB=30°，
连接BC，则PC=

sin∠CPB

=2BC=2r，
∴若P点为⊙C的关联点，则需点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r；
由上述证明可知，考虑临界点位置的P点，
如图3，点P₁到原点的距离OP₁=2×1=2，
过点O作直线l的垂线OH，垂足为H，tan∠OGF=

，
∴∠OGF=60°，
∴OH=OGsin60°=

；
sin∠OP₁H=

，
∴∠OP₁H=60°，
可得点P₁与点G重合，
过点P₂作P₂M⊥x轴于点M，
可得∠P₂OM=30°，
∴OM=OP₂cos30°=