设f(x)是定义在R上的函数,且对任何x1,x2∈R都有f(x1+x2)=f(x1)*f(x2),若f(0)≠0,f'(0)=1证明：对任何x∈R,都有f(x)=f'(x)

Question

设f(x)是定义在R上的函数,且对任何x1,x2∈R都有f(x1+x2)=f(x1)*f(x2),若f(0)≠0,f'(0)=1
证明：对任何x∈R,都有f(x)=f'(x)

Answer 1

证明：
在f(x1+x2)=f(x1)*f(x2)中令x1=x2=0, 若f(0)≠0, 则f(0)=1.
f'(x)=lim (t->0) ( f(x+t)-f(x))/t
=lim (t->0) ( f(x)f(t)-f(x))/t
=f(x) * lim (t->0) ( f(t)-1)/t
=f(x) * lim (t->0) ( f(t)-f(0))/t
=f(x) * f(0)=f(x).