（2014•东城区一模）质量为M的滑块由水平轨道和竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道组成，放在光滑的水平面上．质量为m的物块从圆弧轨道的最高点由静止开始滑下，以速度v从滑块的水平

Question

（2014•东城区一模）质量为M的滑块由水平轨道和竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道组成，放在光滑的水平面上．质量为m的物块从圆弧轨道的最高点由静止开始滑下，以速度v从滑块的水平轨道的左端滑出，如图所示．已知M：m=3：1，物块与水平轨道之间的动摩擦因数为µ，圆弧轨道的半径为R．
（1）求物块从轨道左端滑出时，滑块M的速度的大小和方向；
（2）求水平轨道的长度；
（3）若滑块静止在水平面上，物块从左端冲上滑块，要使物块m不会越过滑块，求物块冲上滑块的初速度应满足的条件．

Answer 1

（1）对于滑块M和物块m组成的系统，物块沿轨道滑下的过程中水平方向动量守恒，物块滑出时有：
  mv=MV
滑块M的速度：V＝(m)/(M)v＝(1)/(3)v，方向向右．
故物块从轨道左端滑出时，滑块M的速度的大小为(1)/(3)v，方向水平向右．
（2）物块滑下的过程中，物块的重力势能转化为系统的动能和内能，有：
(1)/(2)mv2+(1)/(2)MV2+μmgL＝mgR
解得：L＝(3gR−2v2)/(3μg)
故水平轨道的长度为：L＝(3gR−2v2)/(3μg)．
（3）物块以速度v₀冲上轨道，初速度越大，冲上圆弧轨道的高度越大．
若物块刚能达到最高点，两者有相同的速度V₁，此为物块不会越过滑块的最大初速度．
对于M和m组成的系统，水平方向动量守恒，有：
  mv₀=（m+M）V₁
相互作用过程中，系统的总动能减小，转化为内能和重力势能，有：
(1)/(2)m

v

2 0

−(1)/(2)(M+m)V12＝μmgL+mgR
解得：v0＝(4)/(3)√(3gR−v2)
要使物块m不会越过滑块，
其初速度：v0≤(4)/(3)√(3gR−v2)．
故若滑块静止在水平面上，物块从左端冲上滑块，要使物块m不会越过滑块，求物块冲上滑块的初速度应满足的条件为：v0≤(4)/(3)√(3gR−v2)．