如图所示，将一铁饼状小物块在离地面高为h处沿水平方向以初速v0抛出．己知物块碰地弹起时沿竖直方向的分速度的大小与碰前沿竖直方向的分速度的大小之比为e（＜1）．又知沿水平方向

Question

如图所示，将一铁饼状小物块在离地面高为h处沿水平方向以初速v₀抛出．己知物块碰地弹起时沿竖直方向的分速度的大小与碰前沿竖直方向的分速度的大小之比为e（＜1）．又知沿水平方向物块与地面之间的滑动摩擦系数为μ（≠0）：每次碰撞过程的时间都非常短，而且都是“饼面”着地．求物块沿水平方向运动的最远距离．

Answer 1

设物块在A₁点第一次与地面碰撞，碰撞前水平速度仍为v₀，竖直速度为
u0＝√(2gh)                （1）
碰撞后物块的竖直速度变为u₁，根据题意，有
u₁=eu₀                  （2）
设物块的质量为m，碰撞时间为△t，因为碰撞时间极短，物块与地面间沿竖直方向的作用力比重力大得多，可忽略重力的作用，这样，物块对地面的正压力的大小为
N1＝(mu0+mu1)/(△t)    （3）
水平方向动量的变化是水平摩擦力的冲量作用的结果，设水平方向速度变为v₁，则有
mv₁-mv₀=-μN₁△t             （4）
由以上各式得
v₁=v₀-（1+e）μu₀              （5）
同理，在落地点A₂，A₃，…，A_n，其碰撞后的竖直分速度分别为
u2＝e2u0，
u3＝e3u0
…
un＝enu0                   （6）
其水平速度分别为
v₂=v₀-（1+e）μ（1+e）u₀
v3＝v0−(1+e)μ(1+e+e2)u0
…
vn＝v0−(1+e)μ(1+e+e2+…+en−1)u0            （7）
由式（6）可知，只有当碰撞次数n→∞时，碰地后竖直方向的分速度u_n才趋向于零，但物块对地面的正压力的最小值不小于mg．地面作用于物块的摩擦力的最小值不小于μmg，因次，物块沿水平方向的分速度一定经历有限次数碰撞后即变为零，且不会反向．
设经过n=n₀次碰撞，物块沿水平方向的分速度已经足够小，再经过一次碰撞，即在n=n₀+1次碰撞结束后，水平方向的分速度恰好变为零．因vn0+1＝0，由式（7）
v0−(1+e)μ(1+e+e2+…+en)u0=0
v0−((1+e)μ(1−en+1)u0)/(1−e)＝0
en0+1＝1−((1−e)v0)/((1+e)μu0)
两边取对数
n0+1＝(1)/(lge)lg[1−((1−e)v0)/((1+e)μu0)]                  （8）
令
B＝(1)/(lge)lg[1−((1−e)v0)/((1+e)μu0)]                   （9）
若B恰为整数，这表示这次碰撞中，经过整个碰撞时间△t，水平速度变为零，则碰撞次数
n₀+1=B
有 n₀=B-1                                （10）
若B不是整数，此种情况对应于在n=n₀+1次碰撞结束前，即在小于碰撞时间内，水平速度变为零．则碰撞次数
n₀+1=[B]+1
有
n₀=[B]（11）
[B]表示B的整数部分．
由于经过n₀+1次碰撞，物块沿水平方向的分速度已为零，但竖直方向的分速度尚未为零，故物块将在An0+1处作上下跳跃，直到eⁿu₀→0，即n→∞，最后停止在An0+1处．物块运动的最远水平距离s＝A0An0+1．下面分别计算每次跳跃的距离．
A0A1＝(v0)/(g)v0                           （12）
A1A2＝(2u1)/(g)v1＝(2eu0v0)/(g)−(2eu02)/(g)(1+e)u
A2A3＝(2e2u0v0)/(g)−(2e2u02)/(g)(1+e)μ(1+e)
…
An0An0+1＝(2en0u0v0)/(g)−(2en0u02)/(g)(1+e)μ(1+e+e2+…+en0−1)     （13）
所求距离为上述所有量的总和，为
s＝(u0)/(g)v0+(2u0v0)/(g)(e+e2+…+en0)−(2u0)/(g)(1+e)μ[e+e2(1+e)+e3(1+e+e2)+…+en0(1+e+e2+…+…+en0(1+e+e2+…+en0−1)]      （14）
分别求级数的和：
e+e2+e3+…en0＝e(1−en0)/(1−e)            （15）
e+e²（1+e）+e³（1+e+e²）+…+en0(1+e+e2+…+en0−1)
=e+e2(1−e2)/(1−e)+e3(1−e3)/(1−e)+…+en0(1−en0)/(1−e)
=(1)/(1−e)[e(1−e)+e2(1−e2)+e3(1−e3)+…+en0(1−en0)]+…en0(1−en0)]
=(1)/(1−e)((e−en0+1−en0+2+e2n0+2)/(1−e2))              （16）
将以上两个关系式和u0＝√(2gh)代入式（14），得
s=v0√((2h)/(g))(1+2e(1−en0)/(1−e))−(4eμh)/((1−e)2)(1−en0)(1−en0+1)            （17）
式中n₀由式（10）或式（11）决定．
答：物块沿水平方向运动的最远距离为s=v0√((2h)/(g))(1+2e(1−en0)/(1−e))−(4eμh)/((1−e)2)(1−en0)(1−en0+1)．