（2009•承德二模）在△ABC中，AB=AC，AC⊥BA，M为BC边中点，一等腰直角三角尺的直角顶点P在BC边上移动，两直角边分别与AB，AC交于E，F两点且斜边与BC平行．（1）在图1中，当三角尺的直角顶

Question

（2009•承德二模）在△ABC中，AB=AC，AC⊥BA，M为BC边中点，一等腰直角三角尺的直角顶点P在BC边上移动，两直角边分别与AB，AC交于E，F两点且斜边与BC平行．
（1）在图1中，当三角尺的直角顶点P恰好移动到M点时，请你通过观察、测量，猜想并写出ME与MF满足的数量关系及位置关系，然后证明你的猜想；
（2）当三角尺的直角顶点P沿BC方向移动到图2所示的位置时，请你通过观察、测量、猜想并写出ME与MF满足的数量关系及位置关系，然后证明你的猜想；
（3）当三角尺在（2）的基础上沿BC方向继续向右平移到图3所示的位置（点P在线段BC的延长线上，三角尺两直角边所在直线与△ABC的两边BA，AC的延长线分别交于点E，F，且点P与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）

Answer 1

（1）ME=MF，ME⊥MF．
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵BM=CM，∠BME=CMF
∴△BEM≌△CFM
∴ME=MF
∵∠EMA+∠AMF=∠FMC+∠AMF=∠AMC=90°
∴ME⊥MF

（2）ME=MF，ME⊥MF；
证明：连接AM
∵△ABC是等腰直角三角形，M为斜边BC的中点
∴AM=(1)/(2)BC=CM，AM⊥BC，∠EAM=∠C=45°
∴∠AMC=90°
∵两个三角形是等腰直角三角形，且斜边平行，直角顶点P在斜边BC上移动
∴四边形AEPF为长方形
∴AE=PF=CF
∴△AEM≌△CFM
∴ME=MF，∠AME=∠CMF
∴∠EMA+∠AMF=∠FMC+∠AMF=∠AMC=90°
∴ME⊥MF

（3）ME=MF，ME⊥MF仍然成立．