求证：对任意给定的11个整数,一定有6个整数之和是六的倍数

Question

求证：对任意给定的11个整数,一定有6个整数之和是六的倍数

Answer 1

依据：抽屉原理
所有的整数按照除以3的余数都可以分在三个集合里：{3n+1},{3n+2},{3n},其中n为整数
对于任意取的5个整数,如果它们都分布在同一个集合里的话,那么显然任取三个数的和都能被3整除
如果它们没有都分在一个集合里,而恰好只分在两个集合里的话,那么5个元素分布到两个集合中,至少有一个集合含有至少3个元素,那么可以发现这三个元素的和是可以被3整除的
如果这5个整数分布在3个集合每个集合都有元素的话,那么显然,从每个集合中取出一个元素,它们的和就可以被3整除.
显然,只要集合中的元素大于等于5个,都能找到其中3个元素之和是3的倍数.
假设这11个整数,分别为：a1、a2、a3、...、a11
在11个任意整数中,必存在3个和为3的倍数,假设其为a1、a2、a3,令b1=a1+a2+a3
在余下的8个任意整数中,必存在3个和为3的倍数,假设其为a4、a5、a6,令b2=a4+a5+a6
在余下的5个任意整数政,必存在3个和为3的倍数,假设其为a7、a8、a9,令b3=a7+a8+a9
依据抽屉原理,b1、b2、b3这三个整数中,至少有两个是同奇或同偶,这两个同奇（或同偶）的整数之和必为偶数.不妨设其为b1、b2
则：b1+b2既是3的倍数,也是2的倍数,其一定是6的倍数
∴任意11个整数,其中必有6个数的和是6的倍数.