设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N，都有an2=2Sn-an，其中Sn为数列{an}的前n项和．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=3n+（-1）n-1•λ•2an（λ为非零整数，n∈N），试确定λ的值，

题目详情

设数列{a_n}的各项都是正数，且对任意n∈N^*，都有a_n²=2S_n-a_n，其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=3ⁿ+（-1）^n-1_•λ•2^a_n（λ为非零整数，n∈N^*），试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n成立．

▼优质解答

答案和解析

（Ⅰ）∵n∈N^*时，

＝2Sn−an，…①
当n≥2时，

n−1

＝2Sn−1−an−1，…②…（2分）
由①-②得，

−

n−1

＝(2Sn−an)−(2Sn−1−an−1)
即

−

n−1

＝an+an−1，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=1（n≥2），…（4分）
由已知得，当n=1时，

＝2

−

，∴a₁=1．…（5分）
故数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
∴an＝n(n∈N*)．…（6分）
（Ⅱ）∵an＝n(n∈N*)，
∴bn＝3n+(−1)n−1λ•2n，…（7分）
∴bn+1−bn＝3n+1−3n+(−1)nλ•2n+1−(−1)n−1λ•2n
=2×3ⁿ-3λ•（-1）^n-1•2ⁿ．
要使得b_n+1＞b_n恒成立，
只须(−1)n−1•λ＜(

)n−1．…（8分）
（1）当n为奇数时，即λ＜(

)n−1恒成立．
又(

)n−1的最小值为1，∴λ＜1．…（9分）
（2）当n为偶数时，即λ＞−(

)n−1恒成立．
又−(

)n−1的最大值为−

设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有an2=2Sn-an，其中Sn为数列{an}的前n项和．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=3n+（-1）n-1•λ•2an（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，

设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N，都有an2=2Sn-an，其中Sn为数列{an}的前n项和．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=3n+（-1）n-1•λ•2an（λ为非零整数，n∈N），试确定λ的值，