已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an=Snn+2n-2，n∈N*，且S2=6．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：1S1+1S2+1S3+…+1Sn<53．

Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a_n=(Sn)/(n)+2n-2，n∈N^*，且S₂=6．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：(1)/(S1)+(1)/(S2)+(1)/(S3)+…+(1)/(Sn)<(5)/(3)．

Answer 1

（1） ∵a_n=(Sn)/(n)+2n-2，n∈N^*，且S₂=6．
∴a₂=(6)/(2)+2×2-2=5，a₁+a₂=6，
解得a₁=1．
又na_n=S_n+2n²-2n，
当n≥2时，（n-1）a_n-1=S_n-1+2（n-1）²-2（n-1），
相减可得：na_n-（n-1）a_n-1=a_n+4n-4，
化为a_n-a_n-1=4，
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为4．
∴a_n=1+4（n-1）=4n-3．
（2）证明：S_n=(n(1+4n-3))/(2)=n（2n-1）．
∴n≥3，(1)/(Sn)=(1)/(n(2n-1))(2)/(2n(2n-1))<(1)/(2n-3)-(1)/(2n-1)．
∴(1)/(S1)+(1)/(S2)+(1)/(S3)+…+(1)/(Sn)<1+(1)/(3)+((1)/(3)-(1)/(5))+((1)/(5)-(1)/(7))+…+((1)/(2n-3)-(1)/(2n-1))=(5)/(3)-(1)/(2n-1)<(5)/(3)．
∴(1)/(S1)+(1)/(S2)+(1)/(S3)+…+(1)/(Sn)<

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