一静长为l的火箭飞船以恒速v相对地面飞行.飞船的头部（A')在t=t'=0是通过地面上的A点,此时有一光信号从飞船头部（A‘)发向尾部（B')（1）按飞船的时间,该信号何时到达船尾?（2）按地面上

Question

一静长为l的火箭飞船以恒速v相对地面飞行.飞船的头部（A')在t=t'=0是通过地面上的A点,此时有一光信号从
飞船头部（A‘)发向尾部（B')
（1）按飞船的时间,该信号何时到达船尾?
（2）按地面上的测量,该信号盒式到达船尾?
（3）按地面上的测量,船尾何时通过A点?

Answer 1

设(x.t)为地面坐标系,(x',t')为火箭坐标系,v为相对速度.后面就是反复进行相对论里面的洛仑兹变换了.
(1) 在火箭坐标系内,火箭长度为静长l,由于光速为c,所以t'=l/c,该事件的空间坐标为x'=-l,因为船尾落后于船头.
(2) 在火箭坐标系内,该事件(x',t')=(-l,l/c),代入洛仑兹变换,
t=(t'+vx'/c²)/√(1-v²/c²)=(l/c-vl/c²)/√(1-v²/c²)=l/c × √(1-v/c)/√(1+v/c).
也可以这么理解,由于相对论效应,地面上测量火箭的长度被缩短为l × √(1-v²/c²).地面看光速仍然不变为c（相对论假设光速在所有参照系内速度均为c）,所以变成了船尾和光的相遇问题,相对速度为v+c,初始距离为l×√(1-v²/c²),所以时间为l×√(1-v²/c²)/(v+c)=l/c × √(1-v/c)/√(1+v/c).
(3) 在火箭坐标系内,该事件(x',t')=(-l,l/v),代入洛仑兹变换,
t=(t'+vx'/c²)/√(1-v²/c²)=(l/v-vl/c²)/√(1-v²/c²)=l/v × √(1-v²/c²).
也可以这么理解,由于相对论效应,地面测量火箭长度被缩短为l × √(1-v²/c²),所以船尾通过A点的时间被相应地缩短.