高中计数原理：一个正方体用两种、三种、四种、五种不同的颜色涂色,分别有多少种?

Question

【高中】计数原理：一个正方体用两种、三种、四种、五种不同的颜色涂色,分别有多少种?

Answer 1

我有详细的过程,但是太长,
从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色,将一个正方体的6个面涂色,每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色,则不同的涂色方案共有多少种?
分析：显然,至少需要3三种颜色,由于有多种不同情况,仍应考虑利用加法原 理分类、乘法原理分步进行讨论
根据共用多少种不同的颜色分类讨论
（1）用了六种颜色,确定某种颜色所涂面为下底面,则上底颜色可有5种选择,在上、下底已涂好后,再确定其余4种颜色中的某一种所涂面为左侧面,则其余3个面有3!种涂色方案,根据乘法原理
（2）共用五种颜色,选定五种颜色有 种方法,必有两面同色（必为相对面）,确定为上、下底面,其颜色可有5种选择,再确定一种颜色为左侧面,此时的方法数取决于右侧面的颜色,有3种选择（前后面可通过翻转交换）
(3)共用四种颜色,仿上分析可得
(4)共用三种颜色,
可得：若用三种颜色则有三对对面颜色相同即5种颜色取三种颜色为10种方法
若用四种颜色则有2对对面颜色相同即先选4种颜色共5种方法,在从选出的4种颜色中取出2种即为6种方法分步计数原理5x6=30种
若选5种颜则有一对对面所涂颜色相同即从5种颜色中选一种即为5种选法其余为与圆排问题则可写为（4—1）!/2 =3 即为分步计数原理为5X3=15
共10+30+15=55
答案；55种
若用六种颜色涂390种