我们运用图（I）图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×12ab，即（a+b）2=c2+4×12ab由此推导出一个重要的结论a2+b2=c2，这个重要的结论就是

Question

我们运用图（I）图中大正方形的面积可表示为（a+b） ² ，也可表示为c ² +4× (1)/(2) ab，即（a+b） ² =c ² +4× (1)/(2) ab由此推导出一个重要的结论a ² +b ² =c ² ，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”．这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．
（1）请你用图（Ⅱ）（2002年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c）．
（2）请你用（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+y） ² =x ² +2xy+y ²
（3）现有足够多的边长为x的小正方形，边长为y的大正方形以及长为x宽为y的长方形，请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：（x+y）（x+2y）=x ² +3xy+2y ² ．

Answer 1

（1）大正方形的面积为：c ² ，中间空白部分正方形面积为：（b-a） ² ；
四个阴影部分直角三角形面积和为：4× (1)/(2) ab；
由图形关系可知：大正方形面积=空白正方形面积+四直角三角形面积，即有：
c ² =（b-a） ² +4× (1)/(2) ab=b ² -2ab+a ² +2ab=a ² +b ² ；

（2）如图1所示：大正方形边长为（x+y）所以面积为：（x+y） ² ，
它的面积也等于两个边长分别为x，y和两个长为x宽为y的矩形面积之和，
即x ² +2xy+y ²
所以有：（x+y） ² =x ² +2xy+y ² 成立；

（3）如图2所示：大矩形的长、宽分别为（x+y），（x+2y），则其面积为：（x+y）•（x+2y），
从图形关系上可得大矩形为一个边长为x的正方形以及2个边长为y的正方形和三个小矩形构成的则其面积又可表示为：
x ² +3xy+2y ² ，
则有：（x+y）（x+2y）=x ² +3xy+2y ² ．