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已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点,点C、D是某个函数图象上的点,当四边形ABCD(A、B、C、D各点依次排列)为正方形时,称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形.例如:如图,正方形ABCD
题目详情
已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点,点C、D是某个函数图象上的点,当四边形ABCD(A、B、C、D各点依次排列)为正方形时,称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形.例如:如图,正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形.
(1)若某函数是一次函数y=x+1,求它的图象的所有伴侣正方形的边长;
(2)若某函数是反比例函数y=
(k>0),他的图象的伴侣正方形为ABCD,点D(2,m)(m<2)在反比例函数图象上,求m的值及反比例函数解析式;
(3)若某函数是二次函数y=ax2+c(a≠0),它的图象的伴侣正方形为ABCD,C、D中的一个点坐标为(3,4).写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标______,写出符合题意的其中一条抛物线解析式______,并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数______.
(1)若某函数是一次函数y=x+1,求它的图象的所有伴侣正方形的边长;
(2)若某函数是反比例函数y=
k |
x |
(3)若某函数是二次函数y=ax2+c(a≠0),它的图象的伴侣正方形为ABCD,C、D中的一个点坐标为(3,4).写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标______,写出符合题意的其中一条抛物线解析式______,并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数______.
▼优质解答
答案和解析
(1)如图1,
当点A在x轴正半轴,点B在y轴负半轴上时,
∵OC=0D=1,
∴正方形ABCD的边长CD=
;∠OCD=∠ODC=45°,
当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时,
设小正方形的边长为a,
易得CL=小正方形的边长=DK=LK,故3a=CD=
.
解得a=
,所以小正方形边长为
,
∴一次函数y=x+1图象的伴侣正方形的边长为
或
;
(2)如图2,作DE,CF分别垂直于x、y轴,
易知△ADE≌△BAO≌△CBF
此时,m<2,DE=OA=BF=m,OB=CF=AE=2-m,
∴OF=BF+OB=2,
∴C点坐标为(2-m,2),
∴2m=2(2-m),解得m=1.
反比例函数的解析式为y=
.
(3)实际情况是抛物线开口向上的两种情况中,另一个点都在(3,4)的左侧,而开口向下时,另一点都在(3,4)的右侧,与上述解析明显不符合
1、当点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,点C坐标为(3,4)时:另外一个顶点为(4,1),对应的函数解析式是y=-
x2+
;
2、当点A在x 轴正半轴上,点 B在 y轴正半轴上,点D 坐标为(3,4)时:不存在,
3、当点A 在 x 轴正半轴上,点 B在 y轴负半轴上,点C 坐标为(3,4)时:不存在
4、当点A在x 轴正半轴上,点B在y轴负半轴上,点D坐标为(3,4)时:另外一个顶点C为(-1,3),对应的函数的解析式是y=
x2+
;
5、当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点D坐标为(3,4)时,另一个顶点C的坐标是(7,-3)时,对应的函数解析式是y=-
x2+
;
6、当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点C坐标为(3,4)时,另一个顶点D的坐标是(-4,7)时,对应的抛物线为y=
x2+
;
∵由抛物线的伴侣正方形的定义知,一条抛物线有两个伴侣正方形,是成对出现的,
∴所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数.
当点A在x轴正半轴,点B在y轴负半轴上时,
∵OC=0D=1,
∴正方形ABCD的边长CD=
2 |
当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时,
设小正方形的边长为a,
易得CL=小正方形的边长=DK=LK,故3a=CD=
2 |
解得a=
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1 |
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2 |
∴一次函数y=x+1图象的伴侣正方形的边长为
2 |
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(2)如图2,作DE,CF分别垂直于x、y轴,
易知△ADE≌△BAO≌△CBF
此时,m<2,DE=OA=BF=m,OB=CF=AE=2-m,
∴OF=BF+OB=2,
∴C点坐标为(2-m,2),
∴2m=2(2-m),解得m=1.
反比例函数的解析式为y=
2 |
x |
(3)实际情况是抛物线开口向上的两种情况中,另一个点都在(3,4)的左侧,而开口向下时,另一点都在(3,4)的右侧,与上述解析明显不符合
1、当点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,点C坐标为(3,4)时:另外一个顶点为(4,1),对应的函数解析式是y=-
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2、当点A在x 轴正半轴上,点 B在 y轴正半轴上,点D 坐标为(3,4)时:不存在,
3、当点A 在 x 轴正半轴上,点 B在 y轴负半轴上,点C 坐标为(3,4)时:不存在
4、当点A在x 轴正半轴上,点B在y轴负半轴上,点D坐标为(3,4)时:另外一个顶点C为(-1,3),对应的函数的解析式是y=
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5、当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点D坐标为(3,4)时,另一个顶点C的坐标是(7,-3)时,对应的函数解析式是y=-
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6、当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点C坐标为(3,4)时,另一个顶点D的坐标是(-4,7)时,对应的抛物线为y=
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∵由抛物线的伴侣正方形的定义知,一条抛物线有两个伴侣正方形,是成对出现的,
∴所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数.
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