某企业生产一种产品，日产量基本保持在1万件到10万件之间，由于受技术水平等因素的影响，会产生一些次品，根据统计分析，其次品率P（次品率=日生产次品数日生产量）与日产量x（万件

Question

某企业生产一种产品，日产量基本保持在1万件到10万件之间，由于受技术水平等因素的影响，会产生一些次品，根据统计分析，其次品率P（次品率=(日生产次品数)/(日生产量)）与日产量x（万件）之间基本满足关系：P=

(1)/(50)x   (1≤x≤5)

(1)/(250)x2−(1)/(25)x+(1)/(5)  (5＜x≤10)

，目前，每生产1万件合格的产品可以盈利10万元，但每生产1万件次品将亏损40万元．
（1）试将生产这种产品每天的盈利额T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；
（2）问当生产这种产品的日产量x约为多少时（精确到0.1万件），企业可获得最大利润？

Answer 1

（1）设盈利额T（万元）关于日产量x（万件）的函数为T（x），
则T（x）=x•（1-P）×10-x•P×40=x（10-50P）．
当1≤x≤5时，T(x)＝x(10−50×(1)/(50)x)=-x²+10x；
当5＜x≤10时，T(x)＝x[10−50((1)/(250)x2−(1)/(25)x+(1)/(5))]，
即T（x）=

−x2+10x(1 ≤ x ≤ 5)

−(1)/(5)x3+2x2   (5＜x ≤ 10).

（2）当1≤x≤5时，T（x）_max=T（5）=25；   
当5＜x≤10时，由T（x）得T′(x)＝−(3)/(5)x2+4x，
令T'（x）=0，得x＝(20)/(3)（x=0舍去）．当x变化时，f（x）及f'（x）的变化情况如下表所示：

x	(5，(20)/(3))	(20)/(3)	((20)/(3)，10)
T'（x）	+	0	-
T（x）	↗		↘

∵T（x）的图象在（5，10]上连续，
∴T（x）在（5，10]上的最大值为T(x)max＝T((20)/(3))＝(800)/(27)．      
∵25＜(800)/(27)，∴当x＝(20)/(3)≈6.7时，T（x）在[1，10]上取得最大值．  
答：当生产这种产品的日产量约为6.7万件时，企业可获得最大利润．