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某企业生产一种产品,日产量基本保持在1万件到10万件之间,由于受技术水平等因素的影响,会产生一些次品,根据统计分析,其次品率P(次品率=日生产次品数日生产量)与日产量x(万件

题目详情
某企业生产一种产品,日产量基本保持在1万件到10万件之间,由于受技术水平等因素的影响,会产生一些次品,根据统计分析,其次品率P(次品率=
日生产次品数
日生产量
)与日产量x(万件)之间基本满足关系:P=
1
50
x   (1≤x≤5)
1
250
x2−
1
25
x+
1
5
  (5<x≤10)
,目前,每生产1万件合格的产品可以盈利10万元,但每生产1万件次品将亏损40万元.
(1)试将生产这种产品每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数;
(2)问当生产这种产品的日产量x约为多少时(精确到0.1万件),企业可获得最大利润?
▼优质解答
答案和解析
(1)设盈利额T(万元)关于日产量x(万件)的函数为T(x),
则T(x)=x•(1-P)×10-x•P×40=x(10-50P).
当1≤x≤5时,T(x)=x(10−50×
1
50
x)=-x2+10x;
当5<x≤10时,T(x)=x[10−50(
1
250
x2−
1
25
x+
1
5
)],
即T(x)=
−x2+10x(1 ≤ x ≤ 5)
1
5
x3+2x2   (5<x ≤ 10).

(2)当1≤x≤5时,T(x)max=T(5)=25;   
当5<x≤10时,由T(x)得T′(x)=−
3
5
x2+4x,
令T'(x)=0,得x=
20
3
(x=0舍去).当x变化时,f(x)及f'(x)的变化情况如下表所示:
                   x(5,
20
3
)
20
3
(
20
3
,10)
T'(x)+0-
T(x)
∵T(x)的图象在(5,10]上连续,
∴T(x)在(5,10]上的最大值为T(x)max=T(
20
3
)=
800
27
.      
25<
800
27
,∴当x=
20
3
≈6.7时,T(x)在[1,10]上取得最大值.  
答:当生产这种产品的日产量约为6.7万件时,企业可获得最大利润.
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