已知三位数ABC,其平方数的末三位数也是ABC,那么满足这样的条件的所有的三位数的和是多少?

Question

已知三位数ABC,其平方数的末三位数也是ABC,那么满足这样的条件的所有的三位数的和是多少?

Answer 1

【解】显然,这个三位数为
100a+10b+c
所以
(100a+10b+c)^2
=10000a^2+100b^2+c^2+2000ab+20bc+200ac
=10000a^2+2000ab+100(b^2+2ac)+20bc+c^2
由条件可知
c^2的个位和c,有1,5等2个数
用1代入,我们发现b=0(因为2bc的个位=b=>2b的个位=b,除b=0外没有其它数)
则a=0(因为(b^2+2ac)的个位=2a的个位=a,同上面推论)
a=0不合题意
c=5
所以
2bc的个位+2=20b的个位+2=b(加的2是由个位进来的)
b=2合题意
所以
(b^2+2ac)的个位+2=10a的个位+6=a(加的2是由十位进来的)
所以
a=6
故此三位数为625
验证:626^2=390625