求积分：∫√(1+4x^2)dx如果已知f(x)=1/2ln[2x+√(1+4x^2)]这个函数了

Question

求积分：∫√(1+4x^2)dx 如果已知 f(x)=1/2 ln[2x+√(1+4x^2)] 这个函数了

Answer 1

不好意思,前半部分套用刚才给你解题的那位,后半部分他做得太麻烦.
令x＝（1/2）tanu,则：
cosu＝√｛（cosu）^2/［（cosu）^2＋（sinu）^2］｝＝√｛1/［1＋（tanu）^2］｝
＝1/√（1＋4x^2）,
√（1＋4x^2）＝√［1＋（tanu）^2］＝1/cosu,dx＝（1/2）［1/（cosu）^2］du.
∴原式＝（1/2）∫（1/cosu）［1/（cosu）^2］du
　　　＝（1/2）∫［1/（cosu）^3］du
　　　=（1/2）∫ (secu)^3 du
下面分部积分：
（1/2）∫ (secu)^3 du=（1/2）∫ secu d (tanu)=1/2*secu*tanu-1/2*∫ (tanu)^2*secu du
= 1/2*secu*tanu-1/2*∫ ((secu)^2-1)*secu du
= 1/2*secu*tanu-1/2*∫ (secu)^3du+1/2*∫ secu du
= 1/2*secu*tanu-1/2*∫ (secu)^3du+1/2*ln|secu+tanu|
将-1/2*∫ (secu)^3du移到左边与左边合并后,并除以2得
1/2*∫ (secu)^3 du=1/4*secu*tanu+1/4*ln|secu+tanu|+C
代回原变量,tanu=2x,secu=√(1+4x^2)
原式=1/4*√(1+4x^2)*2x+1/4*ln|√(1+4x^2)+2x|+C
=1/2*x√(1+4x^2)+1/4*ln(√(1+4x^2)+2x)+C