求所有正整数abc使x^2-3ax+2b=0x^2-3bx+2c=0x^2-3cx+2a=0的所有根为正整数过程过程

Question

求所有正整数abc 使x^2-3ax+2b=0 x^2-3bx+2c=0 x^2-3cx+2a=0的所有根为正整数
过程 过程

Answer 1

解:
一、已知abc正整数,即a≥0,b≥0,c≥0,新规定0是正整数.a=b=c=x=0
二、
x^2-3ax+2b=0
△=(-3a)^2-4*2b≥0
因为x是整数,所以设9a^2-8b=s^2
(3a+s)*(3a-s)=8b=1*8b=2*4b=4*2b=8*b
讨论：
1、(3a+s)*(3a-s)=1*8b
3a+s=1.(1)
3a-s=8b.(2)
(1+2)
6a=1+8b
同理可得
6b=1+8c
6c=1+8a
c<0不符合已知条件
2、(3a+s)*(3a-s)=2*4b
a>0时,3a+s>2
(3a+s)=4b
(3a-s)=2
6a=2+4b
3a=1+2b
3b=1+2c
3c=1+2a
a=b=c=1,x=1,2
3、(3a+s)*(3a-s)=4*2b
3a+s=4
3a-s=2b
3a=2+b
同理可得
3b=2+c
3c=2+a
a=b=c=1,x=1,2
4、(3a+s)*(3a-s)=8*b
3a+s=8
3a-s=b
6a=8+b
6b=8+c
6c=8+a
不是整数,不符合已知条件
答：
a=b=c=x=0
a=b=c=1,x=1,2