x,y,z属于R,α+β+γ=π,求证x^2+y^2+z^2≥2yzcosα+2zxcosβ+2xycosγ这道题的基本思路我是知道的.先把不等号右边的东西移到左边,整理成关于x的函数f(x).因为f(x)大于等于0,又因为二次项系数为1,开口向上,

Question

x,y,z属于R,α+β+γ=π,求证x^2+y^2+z^2≥2yzcosα+2zxcosβ+2xycosγ
这道题的基本思路我是知道的.先把不等号右边的东西移到左边,整理成关于x的函数f(x).
因为f(x)大于等于0,又因为二次项系数为1,开口向上,所以△要≤0.
但是我△整理不到一看就能看出是小于等于零的地步.

Answer 1

原不等式等价于x^2-2x(zcosβ+ycosγ)+y^2+z^2-2yzcosα>=0 △=4(z^2)cosβ^2+4(y^2)cosγ^2+8yzcosβcosγ-4y^2-4z^2-8yzcos(β+γ)=-4(z^2)sinβ^2-4(y^2)sinγ^2+8yzsinβsinγ=-4(ysinβ+zsinγ)